dengan menggunakan metode lagrange multiplier, dapat ditunjukkan bahwa kondisi yang diinginkan adalah bahwa

harus stasioner, yaitu, bahwa ..... harus memenuhi persamaan Euler.
legrange multiplier adalah konstanta. akan muncul dalam larutan y (x) dari persamaan Euler; y ditemukan memiliki (x),, kita dapat pengganti ke ........
dan begitu menemukan A jika kita sukai.
Namun, untuk berbagai tujuan kita tidak perlu mencari @
diberi dua titik x1 dan x2 pada sumbu x. dan l panjang busur> x2 - x1,
menemukan bentuk kurva dari panjang l bergabung dengan titik yang diberikan yang, dengan sumbu x, incloses daerah terbesar.
kami ingin memaksimalkan ............... dengan syarat ....... sini
kita melihat bahwa jawaban untuk masalah kita adalah sebuah lingkaran yang melewati dua titik yang diberikan.
pusat dan jari-jari lingkaran ditentukan oleh titik yang diberikan dan panjang busur yang diberikan L.
jika L tidak lebih besar dari X2-X1,, lingkaran akan terlihat seperti gambar 6.1a, jika L adalah jauh lebih besar dari x2-x1, lingkaran akan terlihat seperti gambar 6.1b. dalam hal baik largrange multiplier adalah jari-jari (lihat (6.3))


masalah, bagian 6
dalam masalah 1 dan 2 diberi panjang L dari th kurva bergabung = wo poin yang diberikan, cari persamaan kurva sehingga;
1. permukaan revolusi yang dibentuk dengan memutar kurva pada sumbu x memiliki luas minimum
2. yang planearea antara kurva dan ilne lurus menghubungkan titik-titik adalah miximum
3. diberikan 100 cc timbal, menemukan cara untuk dari itu menjadi padat revolusi tinggi 1 cm dan momen inersia minimum porosnya.
4. suatu seragamam rantai yang fleksibbel dari panjangnya siberi dipenjarakan pada member petunjuk (x1,y1) dan (x2,y2). Temukan kurva itu dimana itu menggantungkan. Mengisyaratkan : itu akan menggantungkan sedemikian sehingganya lari kecil gaya berat asalah sama rendah seperti mungkin
5. dengan area permukaan benda putar, temukan bentuknya untuk membuat volumenya adalah suatu maksimum. Isyarat : temukan suatu kurva y = y(x) yang dapat revolved tentang x poros untuk memnghasilkan benda putar itu. Asumsi bahwa y = 0 membuat puas persamaan kurva. (kemudian kamu tidak mempunyai kesulitan dari alhir flat / kempes pada atas yang padat).
6. pada permasalahan 5, diberikan volume, temukan bentuk untuk memperkecil area [ermukaan itu.





7. VARIASI NOTASI
Lambang δ telah digunakan pada awal hari pengembangan kalkulus untuk menandai adanya apa yang kita sudah kita ketahui perbedaan berkenaan dengan parameter ϵ. Itu adalah seperti halnya lambang d di dalam suatu diferensial mengharapkan tuk memperingatkan kamu bahwa ϵ dan tidak x adalah variable perbedaan. δ notasi tidaklah digunakan banyak metematika apapun lagi, tetapi kamu akan Temukan dia di dalam aplikasi dan demikian perlu memahami maksut dari arti kwantitas δI (hanya; baru saja ) differensial (itu).
δI= dI/dϵ dϵ,
Dimana jika dI/ dϵ dievaluasi untuk ϵ = 0. Lambang δ ( ayang dibaca’ variasi’ ) adalah juga diperakukan sebagai operator diferensial bertindak pada F , y, dan y’, kita akan menggambar δy,δy^' dan δF dalam kaitan dengan prevorius notasi. Kita mengundang bagian 2.
Y (x,ϵ)= y(x)+ ϵη (x)
Y' (x,ϵ)= y'(x)+ ϵη' (x)

Kemudian arti dari δy adalah
δy=[ ∂y/∂ε]ε=0 dϵ= η^' (x)dϵ,
Ini adalah seperti halnya suatu defensial dY jika ϵ adalah variabel itu.arti dari δy' adalah
δy'=[ ∂y'/∂ε]ε=0 dϵ= η^' (x)dϵ,
Ini adalah serupa dengan
d/dx (δy)= d/dx [η(x)dϵ]= η^' (x)dϵ
Karena sejak x dan ϵ adalah variable mandiri, dengan kata lain , d dan δ pulang pergi / merubah. Arti dari δF adalah
δF= ∂F/∂y ∂y+ ∂F/∂y' ∂y',
Ini adalah sekedar total dF = (∂F/∂ϵ)ϵ=0 dϵ yang diferansial funsi itu F[x,Y(x, ε) , Y’